EKSPONENTNA ENAČBA
REŠEVANJE S PREVEDBO NA ENAKI OSNOVI
Nekatere eksponentne enačbe (neznanka nastopa v eksponentu) lahko preoblikujemo tako, da na vsaki strani enačbe nastopata le potenci z isto osnovo:
af(x) = ag(x) , a > 0
Od tod lahko (zaradi injektivnosti eksponentne funkcije) sklepamo, da sta eksponenta enaka:
f(x) = g(x)
in s tem poenostavimo enačbo.
Zgleda: Rešimo naslednji enačbi!
1. 253x - 2 = 125x
(5 2) 3x - 2 = (53) x zapišemo kot potenco števila 5
5 6x - 4 = 5 3x enačbo uredimo
6x - 4 = 3x rešimo linearno enačbo
3x = 4
x =
Enačbe ima
torej eno rešitev x =.
2.
korene
zapišemo kot potence
enačbo
uredimo, da dobimo na vsaki strani le
potenco števila 4
izenačimo eksponenta
9 - 3x + 2x - 2 = - 6
- x + 7 = - 6
- x = -13
x = 13
Enačba ima eno rešitev x = 13.
VAJE:
1. 32 - x = 3 R: x = 1
2. 
R:
x = 1
3 32 . (2x - 1)x + 1 = (4x)x - 2 : 2 R: x1 = 5, x2 = -1
4. 
R:
x = 1
5. Kolikokrat moramo prepogniti list papirja, da bo "zloženka" imela 512 listov?
R: list moramo prepogniti devetkrat.
6. Iz ene tiskarske pole v tiskarni natisnejo knjižico s 64 stranmi. Kolikokrat polo prerežejo?
R: V tiskarni polo petkrat prerežejo.
POTEK REŠITEV:
1. 32 - x = 3
32 - x = 31 zapišemo 3 kot potenco z eksponentom 1
2 - x = 1 izenačimo eksponenete potenc z enakima osnovama
x = 1
Rešitev enačbe je x = 1.
2.
dec. št.
zapišemo kot ulomek, pri tem opazimo, da v enačbi nastopajo potence števila 8
zapišemo s
potencami števila 8
83x = 82 + x poenostavimo izraze s potencami
3x = 2 + x izenačimo eksponente in …
2x = 2 …rešimo linearno enačbo
x = 1
Rešitev enačbe je x = 1.
3. 32 . (2x - 1)x + 1 = (4x)x - 2 : 2 opazimo, da so faktorji potence števila 2
zapišemo s potencami z osnovo 2
poenostavimo
izraz
izenačimo
eksponente pri enakih osnovah in
rešimo
kvadratno enačbo, ki …
(x - 5)(x + 1) = 0
x1 = 5, x2 = -1 ima dve rešitvi.
Enačba ima dve rešitvi: x = 5 in x = -1.
4.
Korene
zapišemo kot potence
izraza
na obeh straneh enačbe poenostavimo
izenačimo
eksponente pri enakih osnovah
in rešimo
linearno enačbo
Rešitev enačbe je x = 1.
5. Kolikokrat moramo prepogniti list papirja, da bo "zloženka" imela 512 listov?
Razmišljamo: ko list prepognemo enkrat, dobimo 2 lista,
ob dveh prepogibih ……….dobimo 4 (= 22) liste,
ob treh……………………………...8 (= 23) listov,
ob n prepogibih ..……………….…2n listov.
Zloženka mora imeti v n prepogibih 512 listov, torej
2n = 512
2n = 29 Zapišemo s potencami z enakimi osnovami
n = 9
Odgovor: list moramo prepogniti devetkrat.
6. Iz ene tiskarske pole v tiskarni natisnejo knjižico s 64 stranmi. Kolikokrat polo prerežejo?
Razmišljamo: 64 strani je 32 listov
Z n označimo število prerezov listov.
Z vsakim prerezom število listov podvojimo, zato 2n = 32.
Rešimo 2n =25 in od tod n = 5.
Odgovor: V tiskarni polo petkrat prerežejo.