EKSPONENTNA ENAČBA

REŠEVANJE S PREVEDBO NA ENAKI OSNOVI

 

 

            Nekatere eksponentne enačbe (neznanka nastopa v eksponentu) lahko preoblikujemo tako, da na vsaki strani enačbe nastopata le potenci z isto osnovo:

 

af(x) = ag(x) , a > 0

 

Od tod lahko (zaradi injektivnosti eksponentne funkcije) sklepamo, da sta eksponenta enaka:

 

f(x) = g(x)

 

in s tem poenostavimo enačbo.

 

Zgleda: Rešimo naslednji enačbi!

 

1.            253x - 2  = 125x

            (5 2) 3x - 2 = (53) x                                  zapišemo kot potenco števila 5

                5  6x - 4 = 5 3x                                    enačbo uredimo

                 6x - 4 = 3x                                    rešimo linearno enačbo

                     3x  = 4                                      

x  = 

 

Enačbe ima torej eno rešitev x  =.

 

 

 

 

 

2.                 

                                   korene zapišemo kot potence

                                     enačbo uredimo, da dobimo na vsaki strani le

potenco števila 4

                              izenačimo eksponenta

9 - 3x + 2x - 2 =  - 6

                         - x + 7 = - 6

                   - x = -13

                     x = 13

 

Enačba ima eno rešitev x  = 13.

 

VAJE: 

1.         32 - x = 3                                                                                             R: x = 1

 

2.                                                                                    R: x = 1

 

3          32 . (2x - 1)x + 1 = (4x)x - 2 : 2                                                                  R: x1 = 5, x2 = -1

 

 

4.                                                                           R: x = 1

 

 

5.         Kolikokrat moramo prepogniti list papirja, da bo "zloženka" imela 512 listov?

                                                                                  R: list moramo prepogniti devetkrat.

 

 

6.         Iz ene tiskarske pole v tiskarni natisnejo knjižico s 64 stranmi. Kolikokrat polo prerežejo?

                                                                                  R: V tiskarni polo petkrat prerežejo.

 


POTEK REŠITEV:

1.         32 - x = 3

32 - x = 31             zapišemo 3 kot potenco z eksponentom 1

2 - x = 1          izenačimo eksponenete potenc z enakima osnovama

x = 1

Rešitev enačbe je x = 1.

 

2.        

           dec. št. zapišemo kot ulomek, pri tem opazimo, da v enačbi nastopajo potence števila 8

           zapišemo s potencami števila 8

83x = 82 + x                    poenostavimo izraze s potencami

3x = 2 + x                   izenačimo eksponente in …

2x = 2                         …rešimo linearno enačbo

x = 1

Rešitev enačbe je x = 1.

 

3.         32 . (2x - 1)x + 1 = (4x)x - 2 : 2       opazimo, da so faktorji potence števila 2

         zapišemo s potencami z osnovo 2

                     poenostavimo izraz

             izenačimo eksponente pri enakih osnovah in

                      rešimo kvadratno enačbo, ki …

(x - 5)(x + 1) = 0

x1 = 5, x2 = -1                         ima dve rešitvi.

Enačba ima dve rešitvi: x = 5 in  x = -1.

 

4.        

                       Korene zapišemo kot potence

 

                            izraza na obeh straneh enačbe poenostavimo

         izenačimo eksponente pri enakih osnovah

           in rešimo linearno enačbo

Rešitev enačbe je x = 1.

 

5.         Kolikokrat moramo prepogniti list papirja, da bo "zloženka" imela 512 listov?

 

Razmišljamo:    ko list prepognemo enkrat, dobimo 2 lista,

ob dveh prepogibih ……….dobimo 4 (= 22) liste,

ob treh……………………………...8 (= 23) listov,

ob n prepogibih ..……………….…2n listov.

Zloženka mora imeti v n prepogibih 512 listov, torej

2n = 512

2n = 29             Zapišemo s potencami z enakimi osnovami 

n = 9

Odgovor: list moramo prepogniti devetkrat.

 

 

 

6.         Iz ene tiskarske pole v tiskarni natisnejo knjižico s 64 stranmi. Kolikokrat polo prerežejo?

 

Razmišljamo:  64 strani je 32 listov

Z n označimo število prerezov listov.

Z vsakim prerezom število listov podvojimo, zato 2n = 32.

Rešimo 2n =25 in od tod n = 5.

Odgovor: V tiskarni polo petkrat prerežejo.